Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Арифметическая прогрессия

Числовая последовательность

      Если каждому натуральному числу  поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность

      Число  называют членом последовательности с номером 1 или первым членом последовательности, число   - членом последовательности с номером 2 или вторым членом последовательности, и т.д. Число называют членом последовательности с номером .

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена  последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности – это задание последовательности 

с помощью формулы, выражающей зависимость члена  от его номера .

      Пример 1.  Числовая последовательность

задана с помощью формулы общего члена

      Задание последовательности с помощью  формулы, выражающей член последовательности через члены последовательности с предшествующими номерами, называют заданием  последовательности с помощью рекуррентной формулы.

      Пример 2 (Числа Фибоначчи).  Числовая последовательность

может быть задана с помощью рекуррентной формулы

с начальными условиями

Арифметическая прогрессия

      Определение 1.  Числовую последовательность

называют арифметической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2.  Если последовательность чисел

является арифметической прогрессией, то число  , определенное формулой

называют разностью этой арифметической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 вытекает, что для того, чтобы задать арифметическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член арифметической прогрессии  и разность арифметической прогрессии . Если числа и  известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

(1)

      По этой причине многие задачи на арифметическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения  чисел и   .

      Из формул (1) вытекает общая формула

(2)

позволяющая по любому номеру  вычислить член  арифметической прогрессии , зная первый член и разность прогрессии.  Эта формула носит название формулы общего члена арифметической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством арифметической прогрессии. Это свойство формулируется так: - «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство арифметической прогрессии утверждает, что  при   справедливо равенство

      Из формулы (2) также вытекают следующие соотношения:

которые используются, в частности, при выводе формулы для суммы первых  членов арифметической прогрессии, и при решении различных примеров и задач.

      Если для суммы первых  членов арифметической прогрессии ввести обозначение

то будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых   членов арифметической прогрессии.

      С примерами решений различных задач по теме «Арифметическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

 

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".        Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса

курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике

индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"