Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Арифметико-геометрическая прогрессия

Определение арифметико-геометрической прогрессии

      Рассмотрим более сложный, чем арифметическая или геометрическая прогрессии, тип последовательности чисел. Эта последовательность носит название арифметико-геометрической прогрессии, поскольку обладает рядом свойств, присущих, как арифметической, так и геометрической прогрессиям.

      Определение. Арифметико-геометрической прогрессией называют числовую последовательность

заданную рекуррентной формулой

(1)

с начальным условием

(2)

где буквами

обозначены заданные числа, удовлетворяющие условиям

(3)

      Замечание. Условия (3) входят в определение, поскольку при  арифметико–геометрическая прогрессия превращается в арифметическую прогрессию, а при арифметико–геометрическая прогрессия превращается в геометрическую прогрессию.

Вывод формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

     Перейдем от последовательности

к последовательности

по формулам

(4)

где- некоторое число, которое мы определим чуть позже.

      Поскольку

то формула (1) преобразуется следующим образом:

Следовательно,

(5)

      Если теперь положить

(6)

то формула (5) принимает вид

(7)

откуда вытекает, что последовательность

является геометрической прогрессией со знаменателем .

      Для того, чтобы найти первый член этой геометрической прогрессии, воспользуемся равенствами (2) и (4):

      Итак,

(8)

      Поскольку

то из формул (7) и (8) получаем формулу для общего члена геометрической прогрессии (7):

(8)

      Из формулы (9) с помощью равенств (4) и (6) получаем формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии:

      Итак, формула общего члена арифметико-геометрической прогрессии имеет вид:

      Вывод формулы общего члена закончен.

 

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".        Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса

курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике

индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"