Справочник по математикеТеорема Фалеса обобщенная доказательствоГеометрия (Планиметрия)Теорема Фалеса обобщенная доказательство Углы

 

Теорема Фалеса

ТЕОРЕМА ФАЛЕСА. Через произвольные точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.1), проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …  Bn–1Bn,

соответственно. Тогда справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство

Теорема Фалеса доказательство

Рис.1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала следующую лемму.

ЛЕММА. Через произвольную точку C, лежащую на стороне OA треугольника OAB, проведена прямая, параллельная прямой AB и пересекающая сторону OB в точке D (рис.2).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.2

Тогда справедливо равенство

Теорема Фалеса доказательство (1)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫОпустим из точек A и B перпендикуляры AK и BL на прямую CD (рис.3). Заметим, что эти перпендикуляры равны, поскольку AKLB – прямоугольник.

Теорема Фалеса доказательство

Рис.3

Из точки D опустим перпендикуляр DF на прямую OA (рис.4).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.4

Из точки C  опустим перпендикуляр CG на прямую OB (рис.5).

Теорема Фалеса доказательство

Рис.5

В соответствии с рисунком 4 площади треугольников   OCD   и   ACD   можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство

Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

В соответствии с рисунком 5 площади треугольников   OCD   и   BCD   можно вычислить по формулам

Теорема Фалеса доказательство

Следовательно,

Теорема Фалеса доказательство

Кроме того, заметим, что площади треугольников   ACD   и   BCD   равны. Действительно, в соответствии с рисунком 3 справедливы формулы

Теорема Фалеса доказательство

Следовательно,

SΔ ACD = SΔ BCD ,

откуда получаем цепочку равенств

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство леммы.

Воспользовавшись леммой, заметим (рис.1), что из равенства (1) вытекают равенства

Теорема Фалеса доказательство

откуда на основе свойств производных пропорций, заключаем, что справедливы равенства

Теорема Фалеса доказательство

что и завершает доказательство теоремы Фалеса.

СЛЕДСТВИЕ. Если через точки

A1A2,  …   An–1An,

лежащие на стороне AO угла AOB (рис.6) и удовлетворяющие условию

A1A2 = A2A3 = … = An–2 An–1 = An–1An

проведены параллельные прямые, пересекающие сторону угла OB в точках

B1B2,  …   Bn –1Bn ,

соответственно, то справедливы равенства

B1B2 = B2B3 = … = Bn–2Bn–1 = Bn–1Bn

Теорема Фалеса доказательство

Рис.6

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика