Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре "Резольвента"
(Справочник по математике - Геометрия - Планиметрия - Описанные четырехугольники)

 
Учебный центр
 
(495) 509-28-10
 
Москва, СВАО,  resolventa@list.ru
Подготовка школьников, студентов и аспирантов к экзаменам по математике
Помощь студентам
Помощь аспирантам
Вакансии преподавателей в учебном центре Резольвента
Реклама на сайте resolventa
Учебный центр Резольвента контактная информация
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА)
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Учебные пособия по математике для школьников и студентов
Справочник по математике для школьников
Поиск по сайту:
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
АРИФМЕТИКА
АЛГЕБРА
ТРИГОНОМЕТРИЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ

НАШИ ПАРТНЕРЫ
Справочник по математике Описанные четырехугольники свойства доказательства Геометрия (Планиметрия)

Описанные четырехугольники

      Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1).  В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.

Описанные четырехугольники свойства

Рис.1

      Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

      Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Описанные четырехугольники свойства

Рис.2

      В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства

AH = AE,       BF = BE,       CF = CG,       DH = DG,

      Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH = AE + BE + CG +DG,

      Поскольку

AH + BF + CF + DH = AD +BC,       AE + BE + CG +DG = AB + CD,

то справедливо равенство

AD +BC = AB + CD,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству

AD +BC = AB + CD,

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Описанные четырехугольники свойства

Рис.3

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство

OH = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство

OH = OG,

      Следовательно, справедливы равенства

OH = OE = OG,

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

  1. Окружность касается стороны BC (рис.4).

    Описанные четырехугольники свойства

    Рис.4

          В этом случае четырёхугольник  ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

  2. Окружность не касается стороны BC.

    В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает  прямую DC в точке K, и возможны два случая:

    1. Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

      Описанные четырехугольники свойства

      Рис.5

    2. Точка C лежит между точками K и D (рис.6)

      Описанные четырехугольники свойства

      Рис.6

      Рассмотрим случай  2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Описанные четырехугольники свойства

      Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

      Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

      Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

      Теорема доказана.

      Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

      Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

      В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

      Примеры описанных четырёхугольников

Фигура Рисунок Утверждение

Ромб

Описанные четырехугольники свойства

В любой ромб можно вписать окружность

Квадрат

Описанные четырехугольники свойства

В любой квадрат можно вписать  окружность

Прямоугольник

Описанные четырехугольники свойства

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

Параллелограмм

Описанные четырехугольники свойства

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

Дельтоид

Описанные четырехугольники свойства

В любой дельтоид можно вписать окружность

Трапеция

Описанные четырехугольники свойства

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
       Запись по телефону (495) 509-28-10.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

Описанные четырехугольники свойства доказательства курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса
Описанные четырехугольники свойства доказательства курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 класса
Описанные четырехугольники свойства доказательства курсы подготовки к ОГЭ (ГИА) для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

Описанные четырехугольники свойства доказательства индивидуальные занятия с репетиторами по математике
Описанные четырехугольники свойства доказательства индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку
Описанные четырехугольники свойства доказательства индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"


Hosted by RopNet         Яндекс цитирования